메넬라우스의 정리
삼각형 abc와 직선 (l)1개. 이 직선이 삼각형의 세 변 및 세변의 연장선과 만나는 점은 각각 DEF 라 했습니다.
선분 AB가 직선과 만나는 점: D
선분 AC가 직선과 만나는 점: F
선분 BE의 연장선이 직선과 만나는 점: E
하나의 직선이 삼각형 세변과 모두다 만나는 것은 불가능.!
그래서 이 직선이 삼각형 두변과 만나는 점 D,F 그리고 BC는 평범하게 만날 수 없으니 연장선을 그어 만나는 점 E라고 둔 것이다.
이런 기능들을 분석해보면
선분 AD/선분 BD × 선분 BE/선분 CE × 선분 CF/선분 AF=1
라는 결론이 나오게 됩니다.
성립하는 이유
점 c에서 선분 ab와 평행한 직선 (q) 을 그린다.
직선 q와 만나는 직선 l 교점을 g라고 한다.
삼각형 ecg와 삼각형 ebd가 서로 평행하기 때문에 닮음 꼴이 된다.
선분 be/선분 ce를 보면 작은 삼각형에서 ce 의 길이 : 큰 삼각형 eb의 길이= 작은 삼각형 cg의 길이: 큰 삼각형 bd는 같다고 볼 수 있다.(평행이니까)
선분 be/선분 ce =선분 bd/선분 cg
선분 cg와 선분 ba가 평행하니까 삼각형 fcg와 삼각형 adf도 닮음이 된다.
그래서
선분 cf/선분 af=선분 cg/선분 ad 로 또한 만들 수 있다.
그래서
선분 AD/선분 BD × 선분 bd/선분 cg ×선분 cg/선분 ad= 1 로 딱 다 약분되서 나오게 된다.
페르마의 점(정삼각형을 이용해 회전합동)
삼각형에 아무데나 점 p를 찍는다.
이 점에서부터 각 꼭짓점까지 연결을 한다.
1) 선분 pa+ 선분 pb+ 선분 pc의 최소를 구하는 법
선분 ab를 60만 회전한다.
선분bp도 60도만큼 회전시킨다.
삼각형bpp'은 정삼각형이 된다.
그리고 p'와 a'를 연결시키면 삼각형 a'p'b와 삼각형 bpa는 합동이 된다.
삼각형 합동조건 중 sas 조건이 된다. (길이 두개와 각이 같기 때문.)
정삼각형 회전때문에 선분 ap와 선분 a'p'이 같다.
또 선분 pb는 정삼각형 회전으로 선분 p'p와 같다.
그래서 합의 최소 값은 선분 a'c까지의 길이가 세 선분의 길이 합의 최소다. 그리고 페르마 포인트라는 점은 저 a'c 선분 위에 있기 마련이다.
(2) a'c와 bc' 선분 길이가 같은 것을 증명해라.
선분 ab를 밑변으로 정삼각형을 그리고 정삼각형 꼭짓점에 점 c로 잇는 선분을 그은다. 이 선분선상에 페르마의 점이 있다!
그리고 또 ac를 밑변으로 정삼각형을 그리고 정삼각형 꼭짓점에 점 b로 잇는 선분을 그은다. 보면 페르마 포인트가 보인다.
그리고 이은 두선분의 거리가 같다.
또 선분bc를 밑변으로 정삼각형을 그리고 점 a에 잇는 선분을 그리면 결국 a'c와 bc'와 b'a 세 선분의 길이가 다 똑같다.
삼각형 aa'c 와 삼각형 ac'b는 합동이다.각은 회전 합동이니 같고 두변이 같기 때문이다.
그래서 중간의 교점은 페르마 포인트가 된다.
+안에 페르마 점을 중심으로 각각의 선분들이 60도를 이룬다.
필요개념:
두 정삼각형의 꼭짓점을 이룬 두각이 60도 라는 것.